Vektorprodukt

vektorielles Produkt; Kreuzprodukt; äußeres Produkt

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Vek|tor|pro|dukt 〈[vɛ̣k-] n. 11〉 Produkt aus der Länge zweier Vektoren u. dem Kosinus des von diesen Vektoren eingeschlossenen Winkels

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Vẹktorprodukt

 

[v-], äußeres Prodụkt, eine bilineare alternierende Abbildung, die jedem geordneten Paar (x, y) von Vektoren eines dreidimensionalen euklidischen Vektorraumes V, der bezüglich einer Orthonormalbasis B = {e₁, e₂, e₃} orientiert ist, einen Vektor x ☓ y (gelesen x kreuz y) zuordnet. Besitzen x und y bezüglich B die Koordinatendarstellungen x = (x₁, x₂, x₃), y = (y₁, y₂, y₃), so ist

 

Das Vektorprodukt hat folgende Eigenschaften: Es ist 1) antikommutativ: x ☓ y = —(y ☓ x), 2) linear in jeder Komponente:

 

3) der Vektor x ☓ y steht senkrecht auf der von x und y aufgespannten Ebene, seine Länge ist die Maßzahl des Flächeninhalts des von x und y aufgespannten Parallelogramms: x ☓ y = ||x|| ||y|| sin (∢x, y), und falls x und y linear unabhängig sind, besitzt das Tripel (x, y, x ☓ y) dieselbe Orientierung wie (e₁, e₂, e₃). 4) Insbesondere ist das Vektorprodukt von x und y genau dann gleich null, wenn x und y linear abhängig sind.

 

Für dreifache Vektorprodukte gilt x ☓ (y ☓ z) = (xz) y — (xy) z und (x ☓ y) ☓ z = (xz) y — (yz) x. (Spatprodukt)